集団とは人間関係行列の固有値である

先日の飲み会で少し漏らした,ちょっとおかしな話を書いておきます。

人間関係の強さを行列で表したとします。なんとなくだけど,関係の強さが-1〜1に標準化されているとして,弱い3人集団だったら,こんな感じ。

A <- matrix(0.2,ncol=3,nrow=3)
A
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  0.2  0.2  0.2
## [2,]  0.2  0.2  0.2
## [3,]  0.2  0.2  0.2
eigen(A)
## $values
## [1] 6.000000e-01 2.220446e-16 2.775558e-17
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.5773503  0.8164966  0.0000000
## [2,] -0.5773503 -0.4082483 -0.7071068
## [3,] -0.5773503 -0.4082483  0.7071068

第一固有値が0.6で,これは1よりも小さい。ガットマン基準で考えると,固有値1に満たない因子は因子として認めないから,これは有意味な因子がない行列。

強い関係の集団だとします。例えば0.7ぐらいの強さ。

A <- matrix(0.7,ncol=3,nrow=3)
A
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  0.7  0.7  0.7
## [2,]  0.7  0.7  0.7
## [3,]  0.7  0.7  0.7
eigen(A)
## $values
## [1] 2.100000e+00 4.440892e-16 0.000000e+00
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.5773503  0.8164966  0.0000000
## [2,] -0.5773503 -0.4082483 -0.7071068
## [3,] -0.5773503 -0.4082483  0.7071068

今度は2.1なので,これで意味のある因子がひとつ得られたというところでしょうか。

もちろんこれは全部の要素が同じ行列だから,強さが0.333…であれば固有値1.0を出すことはできるんです。
数学的には何も面白くない。

でも,人の関係というのは強弱があるので,多少事情は違います。非対称行列になるし,対角項はどのように考えるか(自尊心?)についても諸説あるでしょう。でも,基本的な考え方は関係が強くなると共通因子として抽象的なものの実体が固まってくるというもので,まさに集団は人間関係行列における固有値であるということができるのではないでしょうか。

ちなみに細かい説明は省きますが,非対称行列から得られる固有値は複素数になり,そのままだと寄与率をうまく計算できないので,Chino’s HFMで分析する必要がありましょう。

Chino’ HFMは非対称成分を虚数にした複素行列での非対称行列にしてから固有値分解すると,固有値が実数で得られるよという話で,Rで簡単に実行できます。

A <- matrix(rnorm(9,0,0.3),ncol=3,nrow=3)
s <- (A+t(A))/2
sk <- (A-t(A))/2
HermiteA <- matrix(complex(re=s,im=sk),ncol=ncol(s))
HermiteA
##                       [,1]                  [,2]                   [,3]
## [1,]  0.1663126+0.0000000i -0.0073939+0.4164915i  0.38089138+0.3538129i
## [2,] -0.0073939-0.4164915i -0.4520156+0.0000000i  0.01004878+0.2129445i
## [3,]  0.3808914-0.3538129i  0.0100488-0.2129445i -0.06919648+0.0000000i
eigen(HermiteA)
## $values
## [1]  0.6461579 -0.1154026 -0.8856548
## 
## $vectors
##                       [,1]                  [,2]                  [,3]
## [1,] -0.7965279+0.0000000i  0.3224749+0.0000000i -0.5114227+0.0000000i
## [2,] -0.0795097+0.2371769i -0.4203368-0.5117197i -0.1412068-0.6920591i
## [3,] -0.3546271+0.4209611i -0.2085470+0.6434112i  0.4208245-0.2499366i

この時の第一固有値の寄与率は,

(eigen(HermiteA)$values[1])^2/sum(eigen(HermiteA)$values^2)*100
## [1] 34.3575

これぐらいですから,十分な大きさでない。これが比較的強い関係だと,

A <- matrix(rnorm(9,0,0.7),ncol=3,nrow=3)
s <- (A+t(A))/2
sk <- (A-t(A))/2
HermiteA <- matrix(complex(re=s,im=sk),ncol=ncol(s))
HermiteA
##                      [,1]                   [,2]                  [,3]
## [1,] 0.7807006+0.0000000i  0.05619558+0.5863136i  0.3261242-0.0440412i
## [2,] 0.0561956-0.5863136i -0.08234188+0.0000000i -0.7381662+0.2379400i
## [3,] 0.3261242+0.0440412i -0.73816621-0.2379400i -0.1767848+0.0000000i
eigen(HermiteA)
## $values
## [1]  1.2249010  0.3601143 -1.0634414
## 
## $vectors
##                       [,1]                  [,2]                  [,3]
## [1,] -0.7886524+0.0000000i -0.5437251+0.0000000i -0.2870373+0.0000000i
## [2,]  0.1104927+0.4976908i -0.3302260-0.4029238i  0.3219506-0.6041906i
## [3,] -0.1571965-0.3056336i -0.0548183+0.6557142i  0.5357474-0.4023505i
(eigen(HermiteA)$values[1])^2/sum(eigen(HermiteA)$values^2)*100
## [1] 54.34254

となります。

要素間の関係の強さがある一定の基準を越えると,抽象的な関係が像を結ぶ,これが集団だと私は考えています。

人間の面白いところは,例えば今3人集団でやっているので関係行列は3by3ですが,その固有値が1をこえて実体として把握できるようになると,それを変数として4by4の行列に増えて考える,というところです(「みんな」という要素を考える)。

逆に弱まると消えます。随時,像を結んだり結ばなかったりする,そういう対象を追い求める集団力学は,そもそもこういうところから考えていかないと成果を上げられないと思います。

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